Profundizando en el análisis con Laplace.

En la clase de hoy hemos dedicado casi un cuarto de la clase en comentar uno de los ejercicios de la entrega de hoy, el dos, para ser mas exactos.

 Tras este inciso para tratar este ejercicio hemos retomado el curso de la clase anterior, en la cual como aparece en la entrada anterior empezamos a hablar de el análisis de circuitos con Laplace con la finalidad de conocer con detalle que hace el circuito que estemos estudiando también antes de entrar en régimen permanente (osea que queremos estudiar el régimen transitorio también). Vimos que para esto nos sería útil el análisis mediante Laplace ya que podemos transformar las ecuaciones diferenciales de el circuito en ecuaciones lineales en el mundo de Laplace.

Pierre-Simon Laplace

Para empezar hemos hablado de, una vez obtenida la transformada de Laplace de la tensión de salida de un circuito, como poder devolver esta al dominio temporal. Hemos visto que para esto hará falta que dividamos la función de Laplace en tantos factores  como numero de polos hayan en el diagrama de polos y ceros.

Tras esto hemos pasado a analizar como se comportan los tres elementos que mas usamos en el mundo de la transformada de Laplace: las resistencias, bobinas y condensadores:

- Para las resistencias vemos que realmente no cambia gran cosa, solo tenemos que transformar la intensidad que pasa a través de ellas y el voltaje que cae en ellas a el con Laplace. 

- Para las bobinas es mas complejo, ya que la tensión que cae en ellas se trata de: V(t) = L·dI/dt.

A causa de que esto sea una ecuación diferencial vemos que al hacer su transformada de Laplace tendremos que aparece un resistor de valor 'Ls' y seguidamente un generador de tensión, los cuales aplicando Thévenin acabamos transformando en un resistor con el valor indicado anteriormente y una fuente de intensidad.

- Para los condensadores al transformar por Laplace la ecuación diferencial de la intensidad que pasa por ellas vemos que nos queda un resistor puro de valor '1/Cs' sumado a una fuente de tensión que depende de 's' también.

Después de todo esto hemos pasado a realizar ejemplos prácticos de lo explicado anteriormente hasta casi el final de la clase, momento en el que hemos introducido unos cuantos conceptos nuevos: la respuesta própia y respuesta forzada de una tensón de salida 'Vo'.

De Fourier a Laplace.

La clase de hoy ha empezado comentando el segundo examen parcial, sus resultados y cuales han sido sus errores mas típicos, además de un comentario global de las notas y la relación entre como esperaba el profesor que fueran y como han ido de verdad.

Tras este inicio de clase un poco atípico, pero que ya se dio después del otro examen parcial, el profesor nos ha dicho que empezaríamos a tratar sobre un tema nuevo, lo cual nos ha sorprendido un poco.

El nuevo tema a tratar es el análisis de circuitos con la transformada de Laplace (tras decirnos esto parece que el pánico ha cundido un poco en la cara de los presentes, seguramente por el mal recuerdo que tenemos de esta de la asignatura de Calculo). Aún y así el profesor nos ha explicado el porqué de la necesidad de este método de análisis: Hasta ahora solo hemos estudiado los circuitos cuando se encuentran en el estado de régimen permanente senosoidal, siendo conscientes de que antes de llegar a este punto hay un período de transición hasta llegar al régimen permanente (siempre que hablemos de un circuito estable).

Con la transformada de Laplace lo que podremos hacer será obtener la solución completa de el circuito, desde el período transitorio hasta el permanente, ya que esta transforma las ecuaciones diferenciales que antes queríamos esquivar en ecuaciones algebraicas.

Una vez introducido esto, hemos pasado a obtener la transformada de Laplace de ciertas funciones tales como las constantes, las senoides, deltas de Dirac y exponenciales, creando así una pequeña biblioteca de transformadas a la cual podemos recurrir.

Fourier aplicado al diseño de circuitos.

La clase de hoy ha empezado haciendo un recordatorio de los conceptos dados en la anterior clase, los cuales fuero la introducción a el análisis de circuitos con excitaciones periódicas de cualquier tipo mediante Fourier.

Tras el típico repaso inicial dedicamos casi la totalidad de la clase a ver ejemplos sobre esta manera de estudiar los circuitos, tales como el paso-bajo, viendo su funcionamiento desde el punto de vista frecuencial, además de ver la utilidad de pensar en el diseño 'frecuencial'.

Aparte de ejemplos también introducimos un nuevo concepto el cual es la relación señal/ruido, la cual relaciona los valores cuadráticos medios de los voltajes de la señal y el 'ruido' que hay en ella en esta tratando de indicar si la señal útil esta 'limpia' de ruido en mayor o menor grado (pudiendo así cuantificar si queremos la eficacia de un filtro paso-bajo por ejemplo).

El resto de la clase la hemos dedicado a hablar sobre mas circuitos y aplicaciones de el análisis con Fourier tales como el poder tener a la salida un valor continuo que tenga como valor la amplitud de la senosoide de la entrada, entre otros. Aveces son necesarias clases mas prácticas como la de hoy para que los conceptos explicados queden mas claros.

La transformada de Fourier.

En la clase de hoy hemos empezado un nuevo tema el cual como de costumbre empieza con el planteamiento de una nueva pregunta, la cual esta vez era: ¿Cómo podemos analizar un circuito cuando la tensión que lo alimenta no es ni una senosoide ni una corriente continua?. Pues bien, para poder entender el procedimiento el profesor nos introdujo primero el concepto de espectro, poniéndonos como ejemplo el efecto de la luz al atravesar un prisma y pudiendo ver así que elementos componen la luz. Luego hemos visto la analogía que tendríamos que usar para ver los elementos que componen cualquier tipo de señal periódica que alimentan a un circuito.

Ahora nos encontramos pues con la pregunta de como podemos aproximar la tensión de forma 'extraña' que tengamos en una suma de tensiones que conozcamos tal y como hace el prisma con la luz. Aquí fue cuando el profesor nos presentó al señor Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemático y físico francés el cual inventó las unas series que llevan su nombre las cuales pueden aproximar cualquier función periódica como una serie de senosoides.

Tras esto hemos procedido al análisis de una función cuadrada mediante Fourier para ver las componentes que la forman tanto en amplitud como en fase.

También hemos comprobado que para expresar bastante fielmente cualquier señal periódica solo es necesario que cojamos los 3 o 4 primeros valores de la descomposición y así ya obtenemos una aproximación muy buena. 

Una última pincelada a los picos de resonancia.

En la clase de hoy hemos dado un último repaso a las funciones con polinomios de segundo grado, tratando un nuevo concepto llamado el ancho de banda de un pico de resonancia, el cual podemos aproximar con la siguiente fórmula:

2*p*w

Donde 'p' y 'w' son unos valores los cuales explicamos en la anterior entrada de que se tratan y como se encuentran.

Después de esto hemos tratado otro concepto nuevo que nos puede servir para identificar mejor si el ancho de banda es muy extenso o si por defecto el pico de resonancia está muy bien definido y por decirlo llanamente "es muy puntiagudo". Este concepto nuevo se llama el factor de calidad y tras esto hemos hecho unos cuantos ejemplos para comprobar la relación de este con la gráfica de cada ejemplo tratado.

Tras esto hemos estado hablando de como podemos obtener trazados de Bode con el PSpice (que como sabemos solo puede encontrar tensiones nodales) y que teniamos que introducirle para que ademas nos lo representara como nosotros lo hacemos siempre, con la escala logarítmica de ganancia en decibelios.

Para acabar la clase el profesor nos ha introducido un último nuevo concepto el cual es el de los decibelos por microvoltios, el cual nos servirá para expresar ganancias también para voltajes (algo aparentemente muy usado en el mundo de las telecomunicaciones).

Trazado de Bode (II): Los picos de resonancia.

La clase de hoy ha empezado, como no, con un repaso de la clase anterior la cual se centró en crear una biblioteca de unos trazados de Bode (con un previo recuerdo de lo que eran), la cual consta de unos Bodes elementales a partir de los cuales podemos ser capaces de dibujar todos los que nos encontremos desglosándolos en los de la biblioteca ya creada.

Tras esto hemos vuelto a el último tipo de trazado que dejamos a medias (o eso parece) en la anterior clase, los trazados de las funciones de segundo grado. Hemos visto que para este tipo de funciones nos resultará mas fácil trabajar con ciertos parámetro 'p' (rho) y 'w' (omega) la relación de las cuales con las funciones de red presentamos a continuación:

s^2 + 2pw + w^2

Tras esto hemos visto que a partir de ciertos valores de 'p'  encontramos que para la frecuencia 'w' hay un augmento de la ganancia en decibelios muy notorio y que para valores de alrededor de esta frecuencia ya no es tan alta. A esto le llamamos frecuencia de resonancia.

Para acabar hemos analizado un circuito el cual tiene una función de red de este estilo, el circuito RLC, y hemos visto que todo lo explicado anteriormente es cierto.

Volvemos a la función de red.

En la clase de hoy el profesor nos ha sorprendido diciéndonos que retomamos un tema tratado antes, las funciones de red. Hemos recordado como se calculan y cuales eran sus utilidades que hasta ahora conocíamos y tras esto nos ha dicho que a raíz de la función de red sería interesante poder representar la amplificación de un circuito para las frecuencias, pudiendo así hacer predicciones sobre ella, y hemos hablado por encima de un concepto llamado diagrama de polos y ceros.

El primer paso para hacer esto es, obviamente, encontrar la función de red pero hoy como es comprensible este paso ya no se ha explicado. Una vez la tenemos debemos factorizar los polinomios del numerador y el denominador para encontrar sus raíces. Llegados a este punto para representar lo que tenemos deberíamos empezar a estudiar dominios, máximos, mínimos y muchas cosas que matemáticamente pueden llegar a ser pesadas y que conllevan bastante tiempo si la función de red es complicada.

¿Entonces, que podemos hacer?. La respuesta nos la da el señor  Hendrik Wade Bode, el cual nos facilita el trabajo usando una herramienta llamada Trazados de Bode.

LOS TRAZADOS DE BODE

Los trazados de Bode son una herramienta que usamos para expresar la amplificación y el desfase de una función de red (su módulo) en función de la frecuencia.

Para hacer esto trabajamos con dos expresiones logarítmicas (las cuales mostraremos a continuación) que aunque a primera vista parezca que nos tengan que dar trabajo, junto con unos conceptos mas que explicaremos aparte, nos ahorraran una gran cantidad de trabajo y de cálculos matemáticos.

20·log[H(s)] ----> log(w)

arg[H(s)]---->log(w)

Tras esto hemos dado el significado lo que es una década y una octava, lo cual nos ayudara en la representación de esta gráfica de respuesta frecuencial.

El resto de la clase la hemos dedicado a elaborar una especie de biblioteca con las gráficas generales de las funciones de red que mas suelen aparecer, para poder simplificar aún mas nuestro trabajo:

-1 : La función de red constante (K).

-2 : La función de red 1/s.

-3 : La función s.

-4 : La función 1/[(s/wo)+1] (la cual es de gran utilidad en muchos circuitos).

-Ejemplo de un Trazado de Bode