Fourier aplicado al diseño de circuitos.

La clase de hoy ha empezado haciendo un recordatorio de los conceptos dados en la anterior clase, los cuales fuero la introducción a el análisis de circuitos con excitaciones periódicas de cualquier tipo mediante Fourier.

Tras el típico repaso inicial dedicamos casi la totalidad de la clase a ver ejemplos sobre esta manera de estudiar los circuitos, tales como el paso-bajo, viendo su funcionamiento desde el punto de vista frecuencial, además de ver la utilidad de pensar en el diseño 'frecuencial'.

Aparte de ejemplos también introducimos un nuevo concepto el cual es la relación señal/ruido, la cual relaciona los valores cuadráticos medios de los voltajes de la señal y el 'ruido' que hay en ella en esta tratando de indicar si la señal útil esta 'limpia' de ruido en mayor o menor grado (pudiendo así cuantificar si queremos la eficacia de un filtro paso-bajo por ejemplo).

El resto de la clase la hemos dedicado a hablar sobre mas circuitos y aplicaciones de el análisis con Fourier tales como el poder tener a la salida un valor continuo que tenga como valor la amplitud de la senosoide de la entrada, entre otros. Aveces son necesarias clases mas prácticas como la de hoy para que los conceptos explicados queden mas claros.

La transformada de Fourier.

En la clase de hoy hemos empezado un nuevo tema el cual como de costumbre empieza con el planteamiento de una nueva pregunta, la cual esta vez era: ¿Cómo podemos analizar un circuito cuando la tensión que lo alimenta no es ni una senosoide ni una corriente continua?. Pues bien, para poder entender el procedimiento el profesor nos introdujo primero el concepto de espectro, poniéndonos como ejemplo el efecto de la luz al atravesar un prisma y pudiendo ver así que elementos componen la luz. Luego hemos visto la analogía que tendríamos que usar para ver los elementos que componen cualquier tipo de señal periódica que alimentan a un circuito.

Ahora nos encontramos pues con la pregunta de como podemos aproximar la tensión de forma 'extraña' que tengamos en una suma de tensiones que conozcamos tal y como hace el prisma con la luz. Aquí fue cuando el profesor nos presentó al señor Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemático y físico francés el cual inventó las unas series que llevan su nombre las cuales pueden aproximar cualquier función periódica como una serie de senosoides.

Tras esto hemos procedido al análisis de una función cuadrada mediante Fourier para ver las componentes que la forman tanto en amplitud como en fase.

También hemos comprobado que para expresar bastante fielmente cualquier señal periódica solo es necesario que cojamos los 3 o 4 primeros valores de la descomposición y así ya obtenemos una aproximación muy buena. 

Una última pincelada a los picos de resonancia.

En la clase de hoy hemos dado un último repaso a las funciones con polinomios de segundo grado, tratando un nuevo concepto llamado el ancho de banda de un pico de resonancia, el cual podemos aproximar con la siguiente fórmula:

2*p*w

Donde 'p' y 'w' son unos valores los cuales explicamos en la anterior entrada de que se tratan y como se encuentran.

Después de esto hemos tratado otro concepto nuevo que nos puede servir para identificar mejor si el ancho de banda es muy extenso o si por defecto el pico de resonancia está muy bien definido y por decirlo llanamente "es muy puntiagudo". Este concepto nuevo se llama el factor de calidad y tras esto hemos hecho unos cuantos ejemplos para comprobar la relación de este con la gráfica de cada ejemplo tratado.

Tras esto hemos estado hablando de como podemos obtener trazados de Bode con el PSpice (que como sabemos solo puede encontrar tensiones nodales) y que teniamos que introducirle para que ademas nos lo representara como nosotros lo hacemos siempre, con la escala logarítmica de ganancia en decibelios.

Para acabar la clase el profesor nos ha introducido un último nuevo concepto el cual es el de los decibelos por microvoltios, el cual nos servirá para expresar ganancias también para voltajes (algo aparentemente muy usado en el mundo de las telecomunicaciones).

Trazado de Bode (II): Los picos de resonancia.

La clase de hoy ha empezado, como no, con un repaso de la clase anterior la cual se centró en crear una biblioteca de unos trazados de Bode (con un previo recuerdo de lo que eran), la cual consta de unos Bodes elementales a partir de los cuales podemos ser capaces de dibujar todos los que nos encontremos desglosándolos en los de la biblioteca ya creada.

Tras esto hemos vuelto a el último tipo de trazado que dejamos a medias (o eso parece) en la anterior clase, los trazados de las funciones de segundo grado. Hemos visto que para este tipo de funciones nos resultará mas fácil trabajar con ciertos parámetro 'p' (rho) y 'w' (omega) la relación de las cuales con las funciones de red presentamos a continuación:

s^2 + 2pw + w^2

Tras esto hemos visto que a partir de ciertos valores de 'p'  encontramos que para la frecuencia 'w' hay un augmento de la ganancia en decibelios muy notorio y que para valores de alrededor de esta frecuencia ya no es tan alta. A esto le llamamos frecuencia de resonancia.

Para acabar hemos analizado un circuito el cual tiene una función de red de este estilo, el circuito RLC, y hemos visto que todo lo explicado anteriormente es cierto.

Volvemos a la función de red.

En la clase de hoy el profesor nos ha sorprendido diciéndonos que retomamos un tema tratado antes, las funciones de red. Hemos recordado como se calculan y cuales eran sus utilidades que hasta ahora conocíamos y tras esto nos ha dicho que a raíz de la función de red sería interesante poder representar la amplificación de un circuito para las frecuencias, pudiendo así hacer predicciones sobre ella, y hemos hablado por encima de un concepto llamado diagrama de polos y ceros.

El primer paso para hacer esto es, obviamente, encontrar la función de red pero hoy como es comprensible este paso ya no se ha explicado. Una vez la tenemos debemos factorizar los polinomios del numerador y el denominador para encontrar sus raíces. Llegados a este punto para representar lo que tenemos deberíamos empezar a estudiar dominios, máximos, mínimos y muchas cosas que matemáticamente pueden llegar a ser pesadas y que conllevan bastante tiempo si la función de red es complicada.

¿Entonces, que podemos hacer?. La respuesta nos la da el señor  Hendrik Wade Bode, el cual nos facilita el trabajo usando una herramienta llamada Trazados de Bode.

LOS TRAZADOS DE BODE

Los trazados de Bode son una herramienta que usamos para expresar la amplificación y el desfase de una función de red (su módulo) en función de la frecuencia.

Para hacer esto trabajamos con dos expresiones logarítmicas (las cuales mostraremos a continuación) que aunque a primera vista parezca que nos tengan que dar trabajo, junto con unos conceptos mas que explicaremos aparte, nos ahorraran una gran cantidad de trabajo y de cálculos matemáticos.

20·log[H(s)] ----> log(w)

arg[H(s)]---->log(w)

Tras esto hemos dado el significado lo que es una década y una octava, lo cual nos ayudara en la representación de esta gráfica de respuesta frecuencial.

El resto de la clase la hemos dedicado a elaborar una especie de biblioteca con las gráficas generales de las funciones de red que mas suelen aparecer, para poder simplificar aún mas nuestro trabajo:

-1 : La función de red constante (K).

-2 : La función de red 1/s.

-3 : La función s.

-4 : La función 1/[(s/wo)+1] (la cual es de gran utilidad en muchos circuitos).

-Ejemplo de un Trazado de Bode

El fin sobre transformadores.

Hoy hemos empezado la clase de una manera atípica puesto que el profesor hoy en vez de abrir la clase haciendo una breve sinopsis de la clase anterior y re-situándonos, ha empezado hablando sobre la mala situación de la universidad (la cual es bastante notoria e incluso aparece en algunos telediarios). Tras este inicio de reflexión nos ha indicado que esta iba a ser la última clase que trate de transformadores perfectos y tratamos de obtener una visión global de sus utilidades y aplicaciones (como la manera en que se aplican) y que además se comporte como un transformador ideal.

MANERAS DE QUE SE COMPORTE COMO UN TRANSF. IDEAL

Hemos explicado tres maneras con la cuales podemos hacer que un transformador perfecto se comporte como uno ideal y son las siguientes:

-1: Trabajar con frecuencias muy altas (consiguiendo así que el inductor sea prácticamente despreciable).

-2 : Que el valor de la inductancia 'L' sea muy alto. Esta manera es muy poco rentable puesto que para ello se necesitan bobinados de muchas espiras y núcleos de permeabilidad magnética muy elevada (lo que lo hace caro de construir y muy voluminoso en tamaño).

-3 : Conectar un condensador en paralelo con el inductor con el fin de anularlo.

Después de esto hemos recordado por encima cuales son las principales aplicaciones de el transformador las cuales ya hablamos en la clase anterior: cambio de voltajes e intensidades (tanto para el transporte de energía como para lo que se quiera), el cambio de impedancias y por último el poder proporcionar aislamiento magnético entre el primario y el secundario (lo cual nosotros no trataremos).

Para acabar la clase introdujimos un nuevo concepto, la máxima potencia la cual viene dada por el Teorema de la máxima transferencia de potencia, con el que podemos encontrar la máxima potencia que podemos obtener de una fuente en el circuito que estemos estudiando.

De vuelta a la realidad.

Tras la explicación de un componente que parecía fantástico en cuanto a aplicaciones, el transformador ideal, en la clase de hoy al nos han demostrado que, como es evidente, en esta vida nada es ideal y este caso no iba a ser menos.

Tras esta vuelta a la realidad nos hemos planteado la pregunta que sigue: ¿Podemos modelar o crear algún componente el cual su funcionamiento sea parecido al de el transformador ideal?. La respuesta es si, y este segundo paso de aproximación es el transformador perfecto.

EL TRANSFORMADOR PERFECTO

Después de unas demostraciones matemáticas y con fundamentos de electromagnetismo tales como la Ley de Ampere y Faraday hemos descubierto que podemos conseguir un efecto parecido al de el transformador ideal mediante un par de devanados de cobre alrededor de un núcleo de ferrita (aunque puede ser otro material que tenga una buena permeabilidad magnética).

Con estas demostraciones hemos visto que siguiendo este sistema al hacer circular un corriente por un devanado, por inducción magnética aparecerá un corriente en el otro devanado o bobina. La relación entre este corriente de entrada y el de salida es, como en el caso del transformador ideal, una 'n' pero que en este caso no es arbitraria sino que viene dada por la relación entre los valores de los inductores primario y secundario.

Una vez sabido esto, hemos visto que el modelo circuital de el transformador perfecto acaba siendo muy parecido al de un transformador ideal, con la diferencia que en el primario aparece el valor de la inductancia como veremos en esta imagen:

También comentamos que este inductor se podía menospreciar en los casos en que esta misma tuviera un valor muy alto o que la frecuencia a la que se trabaje sea muy alta, y para acabar la clase estuvimos comentando desde que era la ferrita, porqué tenemos que usarla y porque no sirve un conductor cualquiera, hasta los diferentes usos en la vida real de estos transformadores.